La topología algebraica proporciona técnicas capaces de analizar en profundidad los espacios topológicos que aparecen en geometría, tanto en geometría diferencial como en geometría algebraica, y en aquellas ramas del análisis directamente relacionadas con la geometría, como el cálculo diferencial e integral en variedades, o la teoría de funciones de variable compleja y especialmente dentro de ésta en la teoría de las superficies de Riemann. Además, sus resultados algebraicos subyacentes pueden desarrollarse en un contexto abstracto, puramente algebraico, con aplicaciones a la teor´ıa de grupos y a la teoría de números.
Centr´andonos en la topología, la topología algebraica asocia a cada espacio topológico una sucesión de grupos, los llamados grupos de homolog´ıa, de modo que las aplicaciones continuas entre espacios inducen homomorfismos entre sus grupos de homología, y los homeomorfismos inducen isomorfismos. Por lo pronto, esto proporciona una técnica para probar que dos espacios dados no son homeomorfos.
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